Download Abschätzungen für Differentialoperatoren im Halbraum by I. W. Gelman, W. G. Mazja (auth.) PDF

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By I. W. Gelman, W. G. Mazja (auth.)

Ungleichungen für Differentialoperatoren spielen eine fundamentale Rolle in der modernen Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Unter den zahlreichen An­ wendungen solcher Ungleichungen, die bei vielen Fragestellungen auftreten und sich durch die Auswahl der Differentialoperatoren und der Randbedingungen, die Anfor­ derungen an den Rand des Gebietes und durch die Normen der jeweils betrachteten Funktionenräume unterscheiden, findet guy Existenz- und Eindeutigkeitssätze, Fehlerabschätzungen bei der numerischen Approximation von Lösungen und der Restglieder in asymptotischen Formeln sowie Ergebnisse über die Struktur des Spek­ trums. Für allgemeine Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten, die in diesem Buch behandelt werden, sind Abschätzungen im L für Funktionen mit kompaktem 2 Träger im betrachteten Gebiet (HÖBMANDEB [22]) in erschöpfender Weise studiert worden. used to be aber Abschätzungen bis zum Rand des Gebietes betrifft, so ist dazu noch überaus wenig bekannt. Solche Abschätzungen enthalten die Arbeiten von ABONS- ZAJN[3], AGMON[1] (Koerzivität von Differentialoperatoren und Integro-Differenti- operatoren), SCHECHTEB [43], [44], [45] (hinreichende Bedingungen für die Dominanz im Halbraum) und einige andere Untersuchungen, über die in den Literaturhinweisen zu jedem Kapitel mehr gesagt wird. Gegenstand des vorliegenden Buches sind Abschätzungen für Differentialopera­ toren mit konstanten Koeffizienten im Halbraum. Es werden keinerlei A-priori-Einschränkungen bezüglich des Typs der betrachteten Differentialoperatoren gemacht.

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Dabei sind T _ ( T ) und G„(T) die Elemente der (N X m)-Matrix T_ bzw. der (1 X iV)-Matrix G(t). ] 6. - 27 [?. 52) kann man nunmehr in der Gestalt 0(g) 5g SnAm schreiben. 49), wenn wir noch berücksichtigen, daß das auf der rechten Seite auftretende Doppelintegral gleich m' tr (2(33) ist. 50) zu beweisen. 5 stützen. 1. 24). 50). 10. N als Epimorphismus. 1 aus den übrigen Bedingungen desselben Theorems folgt. Diese Behauptung wurde dort unter der zusätzlichen Voraussetzung cM(£; T) = 1 bewiesen. 24) durch Jt{$; x) M(£; JJ) zu dividieren und alle folgenden Überlegungen für die entstehende Gleichung zu wiederholen.

Dabei sind die &f = {^(C,)} ( « = 1 , . . , N; q = 1 , . . , I; a = 0 , . . , k e - 1 ; k = 1,... 43) die gfffc-ten Spalten einer (iV X m2V)-Matrix, die in derselben Weise aus der Matrix T konstruiert wird wie die Matrix % aus der Matrix T (siehe ( 1 . 2 4 ) ) . Wir setzen in ( 1 . 3 1 ) die Vektorfunktionen ip = (yi ,... ,y> ) ein, ) deren Komponenten folgendermaßen definiert werden: + k für ip = 0 jk lk j 4= k , Whk = (ü) exp (iC f) y (fc = fl 1 mk yi kk für = 0 für «< 0 , t ^ 0 1 , . . , m; q = 1 , .

1 seien erfüllt, und die (N X A )7 CO j . J I W ± M |

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